Simbología Matemática : La Simbología Matemática

Nos permite expresar en forma concisa y clara los conceptos matemáticos, de tal manera que un texto matemático que utilice el lenguaje matemático, puede ser leído por cualquier persona sin importar la lengua que hable; i.e. para un hispanoamericano, para un anglosajón, para un chino, para un japonés y para un ruso, entre otros, la expresión

significará lo mismo: "El Conjunto de los Números Racionales se define como el conjunto de los números de la forma a sobre b, tales que a y b son números enteros, con la restricción de que b es diferente de cero."

Observe como la expresión simbólica para definir al Conjunto de los Números Racionales, es mucho más concisa que la definición dada en lenguaje cotidiano, en este caso, el español.

La simbología matemática está repleta de signos o caracteres gráficos, que son como las “palabras” de un idioma. Éstas deben ser conocidas con el objeto de poder interpretar lo que se quiere decir con ellas, al tiempo que se deben utilizar para decir lo que se quiera. Cada uno de estos símbolos utilizados en matemática, son necesarios para la perfecta construcción de ideas, de manera que la sustitución de alguno de ellos por otro diferente, aunque sea gráficamente parecido, cambiaría totalmente el significado. Es decir, todas y cada una de las “palabras matemáticas” tienen un significado particular, no existiendo la posibilidad de sinónimos.

Genéricos

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$=$	igualdad	igual a	todos
	`x` = `y` significa: `x` e `y` son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o ente.
	1 + 2 = 6 − 3
$:=$ $\equiv$ $:\Leftrightarrow$	definición	se define como	todos
	`x` := `y` o `x` ≡ `y` significa: `x` se define como otro nombre para `y` (notar, sin embargo, que ≡ puede también significar otras cosas, como congruencia) `P` :⇔ `Q` significa: `P` se define como lógicamente equivalente a `Q`
	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)
$...$ $\dots$ $\ldots$ $\cdots$ $\ddots$ $\vdots$	ad infinitum o sucesión matemática	se repite/progresión	todos
	0, 1, 2, 3, ... 18 y a₁, a₂, a₃, ...a₇ y a₁, a₂, a₃, ...a_n se entiende que la progresión se extiende hasta el número o valor indicado. En estos casos, 18, 7 y algún natural nrespectivamente. 1, 2, 3, 4, ... y a₁, a₂, a₃, ... y a₁, → a₂, → a₃, → ... se entiende que cada progresión se extiende infinitamente¹ 2, 4, 6, 8, ... se entiende que hay un incremento progresivo según el patrón hasta el infinito. ... –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ... se entiende que decrementa progresivamente hacia la izquierda y que aumenta progresivamente hacia la derecha, y se extiende infinitamente en ambos sentidos.
	π ≈ 3,14159265358979323846... se entiende que el valor del símbolo pi es aproximadamente 3,14159265358979323846 pero que los siguientes dígitos conocidos y desconocidos se extienden hasta el infinito² . $1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots$ o $1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + \cdots + {1 \over 35}$ se entiende como suma de fracciones periódicas.
	$\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,127} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,127} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{2324,1} & a_{2324,2} & \cdots & a_{2324,127} \\ \end{pmatrix}$ se entiende como una matriz de progresión donde los elementos comienzan por la fila y columna de subíndice 1 y terminan en la fila de subíndice 2324, y la columna de subíndice 127. $\sqrt 5 = 1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle 1 +\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\ddots}}}}$ se entiende que la raíz cuadrada de 5 es igual 1 sumado la fracción de 1 sobre la repetición infinita de la misma ecuación.
	`x` = 1 + 2 + 3 + ... + 54

Aritmética y álgebra

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$+$	adición	más	aritmética y álgebra
	4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10.
	43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9
$-$	sustracción	menos	aritmética
	9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'.
	87 − 36 = 51
$\times$ $\cdot$ $*$	multiplicación	por	aritmética
	7 × 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42.
	4 × 6 = 24 ó 4 * 6 = 24 ó 4 · 6 = 24
$\div$ $/$ $:$	división	entre, dividido por	aritmética
	${42 \over 6} = 7$ significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete.
	$24 / 6 = 4$
$\Sigma$	sumatoria	suma sobre ... desde ... hasta ... de	aritmética
	∑_k=1ⁿ a_k significa: a₁ + a₂ + ... + a_n
	∑_k=1⁴ k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
$\prod$	productorio	producto sobre... desde ... hasta ... de	aritmética
	∏_k=1ⁿ a_k significa: a₁a₂···a_n
	∏_k=1⁴ (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

Lógica proposicional

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\Rightarrow$ $\rightarrow$	implicación material o en un solo sentido	implica; si .. entonces; por lo tanto	lógica proposicional
	A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es verdadero entonces nada se dice sobre A. → puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.
	x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso (ya que x podría ser −2)
$\Leftrightarrow$ $\leftrightarrow$	doble implicación	si y sólo si; sii, syss³	lógica proposicional
	A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.
	x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y
$\wedge$	conjunción lógica o intersección en una reja	y	lógica proposicional, teoría de rejas
	la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.
	n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando `n` es un número natural
$\vee$	disyunción lógica o unión en una reja	o, ó	lógica proposicional, teoría de rejas
	la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.
	n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando `n` es un número natural
$\neg$ $/$	negación lógica	no	lógica proposicional
	la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa. una barra puesta sobre otro operador es equivalente a un ¬ puesto a la izquierda.
	¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); `x` ∉ `S` ⇔ ¬(`x` ∈ `S`)

Lógica de predicados

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\forall$	cuantificador universal	para todos; para cualquier; para cada	lógica de predicados
	∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x
	∀ n ∈ N: n² ≥ n
$\exists$	cuantificador existencial	existe por lo menos un/os	lógica de predicados
	∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
	∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
$\exists !$	cuantificador existencial con marca de unicidad	existe un/os único/s	lógica de predicados
	∃! x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.
	∃! n ∈ N: n + 1 = 2
$:$ $/$	reluz	tal que	lógica de predicados
	∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
	∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Teoría de conjuntos

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\{ , \}$	delimitadores de conjunto	el conjunto de ...	teoría de conjuntos
	{`a`,`b`,`c`} significa: el conjunto consistente de `a`, `b`, y `c`
	N = {0,1,2,...}
$\{ : \}$ $\{ \| \}$	notación constructora de conjuntos	el conjunto de los elementos ... tales que ...	teoría de conjuntos
	{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x \| P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.
	{n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}
$\emptyset$ ${}$	conjunto vacío	conjunto vacío	teoría de conjuntos
	{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.
	{n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}
$\in$ $\notin$	pertenencia de conjuntos	en; está en; es elemento de; es miembro de; pertenece a	teoría de conjuntos
	a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S
	(1/2)⁻¹ ∈ N; 2⁻¹ ∉ N
$\subseteq \!$ $\subset$	subconjunto	es subconjunto de	teoría de conjuntos
	A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B A ⊂ B significa: `A` ⊆ `B` pero A ≠ B
	A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
$\cup$	unión de conjuntos	la unión de ... y ...; unión	teoría de conjuntos
	A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ningún otro.
	A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
$\cap$	intersección de conjuntos	la intersección de ... y ...; intersección	teoría de conjuntos
	A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común.
	{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}
$\backslash$	diferencia de conjuntos	menos; sin	teoría de conjuntos
	A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B
	{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

Funciones

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\left(\ \right)$ $\left[\ \right]$ $\left\{\ \right\}$	aplicación de función; agrupamiento	de	funciones
	para aplicación de función: `f`(`x`) significa: el valor de la función `f` sobre el elemento `x` para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del paréntesis.
	Si `f`(`x`) := `x`², entonces `f`(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) = 8/2 = 4
$\textrm{f:}\ X \rightarrow Y$	mapeo funcional	de ... a	funciones
	`f`: `X` → `Y` significa: la función `f` mapea el conjunto `X` al conjunto `Y`
	Considérese la función `f`: Z → N definida por `f`(`x`) = `x`²
$\lfloor$ $\rfloor$ $\lceil$ $\rceil$	Funciones de Piso y Techo	Piso de, Techo de	funciones
	La función piso asigna el entero más próximo por defecto, la función techo asigna el entero más próximo por exceso.
	Si x=1.5, entonces $\lfloor$ x $\rfloor$ =1 y $\lceil$ x $\rceil$ =2

Números

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\mathbb N$	números naturales	N	números
	N significa: {1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para una convención diferente.
	{\|a\| : a ∈ Z} = N
$\mathbb Z$	números enteros	Z	números
	Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}
	{a : \|a\| ∈ N} = Z
$\mathbb Q$	números racionales	Q	números
	Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}
	3.14 ∈ Q; π ∉ Q
$\mathbb R$	números reales	R	números
	R significa: {lim_n→∞ a_n : ∀ n ∈ N: `a`_n ∈ Q, el límite existe}
	π ∈ R; √(−1) ∉ R
$\mathbb C$	números complejos	C	números
	C significa: {a + bi : a, b ∈ R}
	i = √(−1) ∈ C
$\sqrt{\ }$	raíz cuadrada	la raíz cuadrada de; la principal raíz cuadrada de	números reales
	√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x
	√(x²) = \|x\|
$\infty$	infinito	infinito	números
	∞ es un elemento de la recta real extendida mayor que todos los números reales; ocurre frecuentemente en límites
	lim_x→0 1/\|x\| = ∞
$\left\|\ \right\|$	valor absoluto	valor absoluto de	números
	\|`x`\| significa: la distancia en la recta real (o en el plano complejo) entre `x` y [[zero], se le llama también módulo]
	\|a + bi \| = √(a+ b)²

Órdenes parciales

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$<$ $>$	comparación	es menor a, es mayor a	órdenes parciales
	`x` < `y` significa: `x` es menor a `y`; x > y significa: x es mayor a y
	3 < 4 5 > 4

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\leq$ $\geq$	comparación	es menor o igual a, es mayor o igual a	órdenes parciales
	`x` ≤ `y` significa: `x` es menor o igual a `y`; x ≥ y significa: x es mayor o igual a y
	x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x

Geometría euclídea

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\pi$	pi	pi	Geometría euclideana
	π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro.
	A = πr² es el área de un círculo con radio "r"

Combinatoria

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$!$	factorial	factorial de	combinatoria
	n! es el producto 1×2×...×n
	4! = 24

Análisis funcional

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\|\|\ \|\|$	norma	norma de; longitud de	análisis funcional
	x es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado
	x+y ≤ x + y

Cálculo

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\int$	integración	integral desde ... hasta ... de ... con respecto a ...	cálculo
	∫_a^b f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de la función f entre `x` = a y `x` = b
	∫₀^b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3
$f'$	derivación	derivada de f; f prima	cálculo
	f '(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es, la pendiente de la tangente en ese lugar.
	Si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x y f ' '(x) = 2
$\nabla$	gradiente	del, nabla, gradiente de	cálculo
	∇f (x₁, …, x_n) es el vector de derivadas parciales (df / dx₁, …, df / dx_n)
	Si f (x, y, z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)
$\partial$	derivada parcial	derivada parcial de	cálculo
	Con f (x₁, …, x_n), ∂f/∂x_i es la derivada de f con respecto a x_i, con todas las otras variables mantenidas constantes.
	Si f(x, y) = x²y, entonces ∂f/∂x = 2xy

Ortogonalidad

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\bot$	perpendicular	es perpendicular a	ortogonalidad
	x $\bot$ y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es ortogonal a y.

Álgebra matricial

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
$\bot$	perpendicular	traspuesta	matrices y vectores
	(a,b) con $\bot$ al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe ubicar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder representar en un documento vectores verticales.